Можно ли устроиться на работу мужчине иностранцу в Москве?

Во всей Вашей положительной характеристике мужчины смущает фраза "без документов". Это что означает: нет вообще никаких документов или нет регистрации по месту пребывания иностранного гражданина.

В любом случае взять его на работу для работодателя - это риск наложения огромного штрафа - от 500 000 до 800 000 рублей за каждого нелегального иностранного рабочего.

Кроме того, предоставление жилья для всей семьи, а не только ему - дополнительный бонус, который работодатель готов выплатить из своего кармана. Я лично не знаю таких примеров в отношении специальности "сварщик".
Все-таки, лучше ему сделать документы, тогда он сможет претендовать на нормальную работу.

Можно ли устроиться на работу мужчине иностранцу в Москве?

Таких вариантов в Москве десятки тысяч.
Люди находят работу и работают.
Есть маленькое НО. Примерный и хороший до первой зарплаты. Потом неделя запоя. Прощаеш, а через месяц другой начинает качать права типа "Я крутой специалист." Выгоняешь. Официально ему ничего не найти. По специальности то же. Пусть устраивается куда возмут на любую работу, а там показав себя настоящим специалистом сможет изменить свой статус.

Удачи!