Есть ли какая-нибудь реальная управа на недобросовестных врачей, практикующих в частных клиниках Москвы? Или – сегодня они неподконтрольны никому?

Частные практикующие врачи подконтрольны закону и суду, если у пациента на руках имеется договор об оказании платных медицинских услуг.

Договор - доказательство слов пациента. Плюс - независимая экспертиза, чеки.
Пациенты чаще всего мало внимания уделяют оформлению документов, и, если бы такие бумаги подписываюсь (с обеих сторон), врачи бы побаивались оказывать некачественные услуги.

Если договора нет, и медицинские услуги не оказаны, или оказаны так, что испорчены здоровье и внешность (по собственному опыту: знакомых, друзей, родственников), не обращайтесь в ведомства обезличенно, не посылайте писем (даже заказных), а приезжайте на приём лично.
Записывайтесь, ждите своей очереди, но всегда являйтесь собственной персоной. На месте, глядя чиновнику в глаза, показывая результаты лечения, можно добиться определённого успеха. Это в чувствах переписка хороша, но когда речь идёт о здоровье, нужно фиксировать, и физически предъявлять все факты.

Запишитесь на приём к министру здравоохранения - Скворцовой Веронике Игоревне. Покажите ей лично, как прошло лечение.

Далее. Запишитесь на приём к помощнику президента Владимира Владимировича Путина. Это совсем несложно. И особенно эффективно, когда на руках нет договора об оказании медицинских услуг.

В частной клинике, в которой производилось лечение, необходимо написать претензию с требованием исправить ошибки или возместить материальный/моральный ущерб. Если следует отказ, просите визу в письменной форме. Если заранее знаете, что ни компенсации, ни письменного отказа не будет, всё равно подавайте письменную претензию, и сразу (незаметно) включайте диктофон.

Все записи, сделанные с помощью подобных устройств, являются неопровержимыми доказательствами в суде.