Аксиоматический метод в математике



Аксиоматический метод – один из способов дедуктивного построения научных теорий, при котором :
1. выбирается некоторое множество принимаемых без доказательств предложений определенной теории (аксиом) ;
2. входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной тео-рии;
3. фиксируются правила определения и правила выбора данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выво-дить одни предложения из других ;
4. все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из 1 на основе 3.
Первые представления об аксиоматическом методе возникли в Древней Греции (Элеанты, Платон, Аристотель, Евклид). В дальнейшем делались по-пытки аксиоматического изложения различных разделов философии и науки (Спиноза, Ньютон и др.). Для этих исследований было характерно содержа-тельное аксиоматическое построение определенной теории (и только ее од-ной), при этом основное внимание уделялось определению и выбору интуи-тивно очевидных аксиом. Начиная со второй половины 19 века, в связи с ин-тенсивной разработкой проблем обоснования математики и математической логики, аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную (а с 20-30-х г.г. 20 в. – как формализованную) систему, устанавливающую соот-ношение между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, которые ей удовлетворяют. При этом основное внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее зависимости от содержания, которое может быть в них представлено, или с его учетом, раз-личаются синтаксические и семантические аксиоматические системы (лишь вторые представляют собой собственно научные знания).
Это различие вызвало необходимость формулирования основных требо-ваний, предъявляемых к ним в двух планах синтаксическом и семантическом (синтаксическая и семантическая непротиворечивость, полнота, независи-мость аксиом и т.д.).
Проблема состоит в противоречиях, которые были выявлены в процессе развития теории, и их устранение обусловило потребность в модификации аксиоматических систем. Однако, для того, чтобы избежать противоречий, недостаточно просто восстановить пошатнувшуюся репутацию математики как наиболее строгой науки. Принципиальное требование аксиоматики должно быть направлено в будущее, а именно на установление того обстоя-тельства, что противоречия вообще не могут быть возможны в области зна-ния, базирующееся на установленной системе аксиом. Исходя из этого тре-бования, в «Основаниях геометрии» Д. Гильберт доказал совместимость вы-деленных аксиом, для которых каждое противоречие в дедукции из геомет-рических аксиом необходимо сказалось бы также и в системе арифметики действительных чисел. Не вызывает сомнений, что для областей физического знания внутренняя совместимость также редуцируется к совместности акси-ом арифметики. Приемлемо, что эти допущения принимались при построении математической теории в целом. Если мы примем за аксиому, например, теорему существования

корней в теории уравнений Галуа или же теорему о существовании нулевых точек дзета-функции Римана в теории простых чисел, то доказательство не-противоречивости аксиоматической системы состоит только в аналитическом доказательстве теоремы существования корней или теоремы дзета-функции – и на первое время безопасность теории обеспечена. [3].
Аксиоматический метод принадлежит логике. При слове «логика» у мно-гих возникает представление о предмете очень скучном и трудном, но сего-дня логическая наука легко понимаема и очень интересна. [2].
Например, стало понятно, что и в повседневной жизни используются ме-тоды и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, пони-маемые только с помощью неосознанного интуитивного применения аксио-матических методов.
Рассмотрим, например, общий процесс отрицания и особенно понятия «бесконечность». Что касается этого понятия, то необходимо уяснить, что бесконечность лишена наглядного смысла, и без более подробного исследо-вания лишена всякого смысла, т.к. существует только то, что конечно. Не существует бесконечно большой скорости, равно как и бесконечно быстро распространяющейся силы или действия. К тому же, действие по своей при-роде дискретно, и существует только квантами. Не существует ничего конти-нуального, сплошного, бесконечно делимого. Даже свет обладает корпуску-лярной, атомистической структурой, как и действие [1].
Также рассмотрим абстрактные множества, встречающиеся в математи-ке. Как отмечал профессор А.В. Архангельский – «Важнейшей особенностью почти всех абстрактных множеств, встречающихся в математике, является бесконечность [4,5]. После открытия парадоксов канторовской теории беско-нечных множеств у философов и участия математиков возникло убеждение, что и в математических теориях могут оказаться скрытые противоречия, даже если они пока и не обнаружены.
В связи с этим, определенный период философии математики определял-ся исследованиями по основаниям математики с целью преодолеть парадок-сы теории множеств и закрепить «виновные» в этом способы в изюбленной афористической манере Людвиг Витгенштейн, подчеркивая различие функ-ций и проблем математиков и философов, повторяет, что «в математике есть только математические трудности, а вовсе не философские». Философ может вмешиваться только тогда, когда у математиков возникает « чувство диском-форта» в работе. Поэтому и задача философии математики по Витгенштейну, является в сущности «терапевтической», способной вносить в успокоение, а в противоречиях и парадоксах их теорий они разберутся сами. «Зачем матема-тике нужно обоснование?! Я полагаю, - говорит он,- оно нужно ей не впечат-лениях, нужен их анализ» [6]. Многие профессионально работающие математики, не связанные напрямую «с математическими проблемами оснований», вполне могут согласиться с Витгенштейном в том, что эти основания в столь же малой степени лежат для них в основе математики, в какой нарисованная скала поддерживает нарисованную на ней крепость.
Все, что может быть объектом научного исследования в целом, и, по-скольку оно созревает для оформления в теорию, прибегает к аксиоматиче-скому методу и через нее косвенно к математике. В свидетельствах аксиома-тического метода, как представляется, математика призвана играть лиди-рующую роль в науке в целом.

Пишет
Александр Николаевич