Могу ли я не отрабатывать месяц при увольнении?

Никакой срок отрабатывать не нужно.

Странно требовать от работника выполнения требований трудового законодательства РФ, если работодатель не выполнил базовые требования, а именно, заключения трудового договора с работником. Какая либо бумага о материальной ответственности ничтожна без трудового договора.

Итог, оставляйте ключи и бегите оттуда.

Можно ли не отрабатывать месяц при увольнении, если не оформлен по трудовому договору?

Отработка требуется только при работе по Трудовому Кодексу Российской Федерации. Причем там написано о двух неделях и то, что работодатель может не привлекать работника к отработке, а сразу уволить.
Если же работа без договора и оформления, то отработка не требуется. Разве только вы хотите сохранить нормальное отношение с работодателем и уйти без скандала. Также можно отработать за повышенную ставку, потребовав деньги вперед. Хозяин бизнеса, скорее всего, согласится, так как иначе работать самому придется.
Есть еще уловка- неожиданно найти и повесить недостачу на увольняющегося работника. Если вдруг хозяйка предложит вам такую недостачу возместить, можете ей пригрозить обращением в трудовую инспекцию и налоговую службу. По факту в налоговую вы, конечно, не пойдете (иначе вам штраф выпишут в 1/4 полученной зарплаты за все время). Зато трудовая инспекция немало крови попьет у недобросовестного бизнесмена. Могут и до инфаркта довести. И магазин придется закрыть на время разбирательства и поиска нового работника.

Отрабатывать без оформления по ТК РФ не требуется. Да и работать так нельзя по закону.

Могу ли я не отрабатывать месяц при увольнении?

Все зависит от того работали Вы официально или нет. Это первое Второе. В любом случае Вы отрабатывать месяц не обязаны. Трудовой Кодекс РФ, статья 80, там четко написано, если по собственному желанию, две недели, не более.Если уж совсем придерживаться буквы закона, то отрабатывать две недели не нужно, это кадровики и сложившаяся практика такая. На самом деле в ст80 ТК РФ написано, что вы обязаны предупредить письменно работодателя за две недели, то есть написать заявление. Но никак не отрабатывать. Вот такая юридическая коллизия, заставить Вас работать по Закону никто не может, нет такой статьи в трудовом Кодексе.
Если работаете официально. Если по согласованию сторон то как договоритесь.Так что если хозяйка говорит что вы должны отработать месяц, если оформлены официально, можете посылать ее лесом по грибы.
Если работаете неофициально, положите ключи на стол и до свидания.

Если конфликт пойдет может на Вас накатать заяву полицаям. Пускай доказывают факт хищения. Безнадежное дело, если продавцов несколько. Хотя интересно что Вы там за договор подписывали о материальной ответственности и его содержание. И еще если на Вас повесили недостачу, надеюсь никаких актов и других бумаг не подписывали.