Можно ли хранить системный блок без корпуса?

В принципе можно, если не важна сохранность сервисных пломб, связывающих боковые крышки с задней панелью. А пыль в корпус попадает в любом случае. У меня, например, боковая крышка снята постоянно...
Увеличение количества вентиляторов автоматически увеличивает уровень шума!!!

Лучше установите в системник два вентилятора (как минимум), тем более что в современных корпусах есть для этого место. Один вентилятор должен быть установлен в переднюю часть корпуса (вниз) на вдув (потому что холодный воздух - внизу). Второй вентилятор устанавливают на выдув в верхнюю часть задней стенки корпуса (нагретый воздух поднимается. Желательно ещё, если есть место и возможность, установить дополнительный вентилятор на боковую стенку корпуса, чтобы горячий воздух от процессора сразу удалялся наружу.

Обычно системные блоки делают так, что с закрытыми крышками теплоотдача у них значительнее выше. Создаются "правильные" потоки, которые обдувают все компоненты компьютера. Лучший способ увеличить теплоотдачу, это увеличить количество вентиляторов, к примеру повесить один на обдув жесткого диска.
Пыль набирается в любом случае, закрыт системный блок или открыт. Очень малая вероятность, что на современное оборудование пыль может как-то негативно подействовать. Но при открытом блоке, её проще пылесосить.

Смысла в этом нет никакого, абсолютно. Охлаждения лучше не будет а вот из-за пыли может чтонить коротнуть, например на материнке. Да и куллер на процессоре быстрее запылится и будет хуже охлаждать. Есть конечно выход пылесосить раз в неделю. Ставить большое количество куллеров то же не выход, так как копм будет жужжать как самолет на взлете, то же ничего хорошего.
лучше всего выяснить что именно греется больше всего. Для процессора это можно посмотреть в биосе, винчестер просто рукой потрогайте. Или промерте все термопарой. И после этого ставьте охлаждение куда нужно.
Кстати для обычного компа куллер нужен только на процессор и видеокарту.

Можно. Один мой знакомы разобрал свой компьютер и привинтил все его части к крышке стола, снизу. Получился такой стол-компьютер. А пыль снизу вверх липнет не очень хорошо, так что она большой проблемы не составляла. К тому же все части легко доступны и их всегда можно продуть. Кстати, этот компьютер у него уже где-то года два в таком положении и от пыли там ещё ничего не коротило.