Официально ли меня трудоустроили, если на руки не дали экземпляр трудового договора?

Вам следует обратиться в отдел кадров организации - Вашего работодателя.

Согласно ТК РФ, трудовой договор составляется в двух экземплярах, один из которых остается у работника, а другой у работодателя. Вы же знаете это. Почему не спросили сразу?

И ещё важный момент. Требуйте именно второй экземпляр, а не копию первого. На Вашем экземпляре трудового договора должна быть поставлена "синяя" печать организации и подпись руководителя организации, а также Ваша подпись.

Не поленитесь, возьмите с собой трудовой кодекс, и действуйте строго в соответствии со статьями, регламентирующими оформление трудового договора при устройстве на работу.

Если Вы получите отказ в результате Ваших законных требований, то выводы неутешительные.

В помощь Вам небольшой материал о правилах заключения и оформления трудового договора между работником и работодателем: trudinspection ru