Может ли мать прописаться в квартиру,где прописан её 3-х летний ребенок?

Это возможно только с письменного согласия собственника жилого помещения, в данном случае бывшей свекрови.

Это несовершеннолетнего ребенка можно зарегистрировать по месту жительства одного из родителей без согласия собственника жилого помещения, а никак не наоборот.

Сам по себе факт регистрации ребенка в квартире не дает Вам право на регистрацию в указанной квартире без согласия ее собственника.