Можно ли при перелёте брать в багаж сушёные грибы (нормальные), сигареты и икру?

Взять в багаж с собой конечно можно и не только это... Самое главное - пройти таможню в порту назначения.

Позаботьтесь о герметичной упаковке для грибов. Лучше, если это будет заводская вакуумная упаковка. Дополнительные паекты не помешают.
Сигареты разрешено провозить не более 2-х блоков на человека. Советую Вам распаковать блоки, и все 20 пачек сигарет россыпью распределить среди вещей в чемодане. Таким способом можно провезти и ещё один блок (и даже не один).
Икру провозить можно, но лучше не в больших количествах, а 1-2 банки, которые положите в чемодане в разные места. Банки должны быть железные, заводские.

В стране, куда Вы направляетесь, при прохождении таможни могут быть самые любые неожиданности, поэтому следует быть готовым к любому развитию событий, например, к тому, что придется выбросить те же самые грибы своими руками прямо на таможне, если при досмотре вдруг выяснится, что они запрещены к ввозу.

В любом случае поступите так - если сильно волнуетесь и переживаете за результаты процедуры прохождения таможни, то не берите с собой продукты, поскольку в этой стране всё это можно, при желании, купить безо всякой нервотрепки.